En informatique, les nombres binaires sont utilisés pour représenter les données. Ce système repose sur deux chiffres : 0 et 1, et il est à la base de tout calcul et traitement informatique. Voici un cours détaillé pour comprendre comment manipuler les nombres binaires.

Qu'est-ce que le système binaire ?

Le système binaire (base 2) est un système de numération qui utilise uniquement deux symboles :
- 0 (zéro)
- 1 (un).

En informatique, chaque chiffre binaire est appelé un "bit". Ces bits peuvent être combinés pour représenter des valeurs plus grandes, comme dans le système décimal (base 10).

Convertir un nombre décimal en binaire

Pour convertir un nombre en base 10 (décimal) en base 2 (binaire), on utilise la méthode de la division successive par 2.

Voici les étapes :

1. Divisez le nombre décimal par 2.
2. Notez le reste (0 ou 1).
3. Continuez à diviser le quotient par 2 jusqu'à ce que le quotient soit égal à 0.
4. Lisez les restes de bas en haut (du dernier au premier) pour obtenir le nombre binaire.

Exemple : Convertir 25 (décimal) en binaire


1. 25 ÷ 2 = 12, reste 1
2. 12 ÷ 2 = 6, reste 0
3. 6 ÷ 2 = 3, reste 0
4. 3 ÷ 2 = 1, reste 1
5. 1 ÷ 2 = 0, reste 1


En lisant les restes de bas en haut, on obtient : 11001.
Donc, 25 en binaire = 11001.

Convertir un nombre binaire en décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on utilise la notation positionnelle. Chaque chiffre binaire (bit) est multiplié par 2 élevé à la puissance de sa position (en partant de la droite, avec la position 0).

Exemple : Convertir 11001 (binaire) en décimal

1. Notez les positions et puissances de 2 :


1 1 0 0 1
2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰


2. Multipliez chaque bit par sa puissance de 2 :

- 1 × 2⁴ = 16
- 1 × 2³ = 8
- 0 × 2² = 0
- 0 × 2¹ = 0
- 1 × 2⁰ = 1

3. Additionnez les résultats : 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25.

Donc, 11001 en binaire = 25 en décimal.

Addition en binaire

L'addition binaire suit les mêmes principes que l'addition décimale, mais elle repose uniquement sur 0 et 1. Voici les règles de base :

0+0=0 report 0
0+1=1 report 0
1+0=1 report 0
1+1=0 report 1

Exemple : Additionner 1011 et 1101


` 1011
+ 1101
------------
11000


Explication :

1. Ajoutez de droite à gauche :
- 1 + 1 = 0, avec un report de 1.
- 1 (report) + 1 + 0 = 0, avec un report de 1.
- 1 (report) + 0 + 1 = 0, avec un report de 1.
- 1 (report) + 1 + 1 = 1, avec un report de 1.

2. Le report final est 1, donc le résultat est : 11000.

Multiplication en binaire

La multiplication binaire fonctionne comme la multiplication décimale classique, mais elle est simplifiée car il n’y a que 0 et 1 :

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

Exemple : Multiplier 101 par 11


` 101
× 11
-------------
` 101 (101 × 1)
+ 1010 (101 × 1, décalé d'un bit)
--------------
` 1111


Donc, 101 × 11 = 1111 (en binaire).

Applications des nombres binaires en informatique

1. Représentation des données : Les nombres binaires sont utilisés pour coder les caractères (ASCII, Unicode), les images, les vidéos, etc.

2. Traitement des instructions : Les processeurs utilisent des opérations binaires pour exécuter des calculs.

3. Réseaux : Les adresses IP, les masques de sous-réseau et d'autres paramètres réseau sont exprimés en binaire.

4. Stockage : Les fichiers et les données sont enregistrés en binaire dans les mémoires (RAM, disque dur, etc.).

Conclusion

Le système binaire est la base de l'informatique. Savoir convertir, additionner et manipuler les nombres binaires est essentiel pour comprendre comment les ordinateurs traitent les informations. Avec de la pratique, ces concepts deviennent simples et intuitifs.